1. Одна гральна кістка
2. Дві гральні кістки
3. Інші завдання про кістки і кубики
4. Корисні посилання

Ще одна популярна завдання теорії ймовірностей (нарівні з завданням про підкидання монет ) - задача про підкидання гральних кісток.

Зазвичай завдання звучить так: кидається одна або кілька гральних кісток (зазвичай 2, рідше 3). Необхідно знайти ймовірність того, що число очок дорівнює 4, або сума очок дорівнює 10, або твір числа очок ділиться на 2, або числа очок відрізняються на 3 і так далі.

Основний метод вирішення подібних завдань - використання формули класичної ймовірності , Який ми і розберемо на прикладах нижче.

Ознайомившись з методами вирішення, ви зможете скачати супер-корисний Excel-файл для розрахунку ймовірності при киданні 2 гральних кісток (з таблицями і прикладами).

Одна гральна кістка

З одного гральною кісткою справа йде до непристойності просто. Нагадаю, що ймовірність знаходиться за формулою $ P = m / n $, де $ n $ - число всіх рівно можливих елементарних наслідків експерименту з підкиданням кубика або кістки, а $ m $ - число тих результатів, які сприяють події.

Приклад 1. Гральний кубик кинуто один раз. Яка ймовірність, що випало парне число очок?

Так як гральна кістка являє собою кубик (ще кажуть, правильна гральна кістка, тобто кубик збалансований, так що випадає на всі грані з однаковою ймовірністю), граней у кубика 6 (з числом очок від 1 до 6, зазвичай позначаються точкам), то і загальне число випадків у завданні $ n = 6 $. Сприяють події тільки такі результати, коли випаде грань з 2, 4 або 6 очками (тільки парні), таких граней $ m = 3 $. Тоді шукана ймовірність дорівнює $ P = 3/6 = 1/2 = 0.5 $.

Приклад 2. Кинутий гральний кубик. Знайти ймовірність випадання не менше 5 очок.

Міркуємо також, як і в попередньому прикладі. Загальна кількість рівно можливих випадків при киданні грального кубика $ n = 6 $, а умові "випало не менше 5 очок", тобто "випало або 5, або 6 очок" задовольняють 2 результату, $ m = 2 $. Потрібна ймовірність дорівнює $ P = 2/6 = 1/3 = 0.333 $.

Навіть не бачу сенсу наводити ще приклади, переходимо до двох гральних кісток, де все цікавіше і складніше.

Дві гральні кістки

Коли мова йде про завдання з киданням 2 кісток, дуже зручно використовувати таблицю випадання очок. По горизонталі відкладемо число очок, яке випало на першій кістки, по вертикалі - число очок, яке випало на другий кістки. Отримаємо таку заготовку (зазвичай я роблю її в Excel, файл ви зможете скачати нижче ):

А що ж в осередках таблиці, запитаєте ви? А це залежить від того, яке завдання ми будемо вирішувати. Буде завдання про суму очок - запишемо туди суму, про різницю - запишемо різницю і так далі. Приступаємо?

Приклад 3. Одночасно кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що в сумі випаде менше 5 очок.

Спочатку розберемося з загальним числом результатів експерименту. коли ми кидали одну кістку, все було очевидно, 6 граней - 6 випадків. Тут кісток вже дві, тому результати можна представляти як впорядковані пари чисел виду $ (x, y) $, де $ x $ - скільки очок випало на першій кістки (від 1 до 6), $ y $ - скільки очок випало на другий кістки (від 1 до 6). Очевидно, що за все таких пар чисел буде $ n = 6 \ cdot 6 = 36 $ (і їм відповідають якраз 36 осередків в таблиці результатів).

Ось і прийшов час заповнювати таблицю. У кожну клітинку занесемо суму числа очок, що випали на першій і другій кістки і отримаємо вже ось таку картину:

Тепер ця таблиця допоможемо нам знайти число сприятливих події "в сумі випаде менше 5 очок" результатів. Для цього підрахуємо число осередків, в яких значення суми буде менше 5 (тобто 2, 3 або 4). Для наочності закрасимо ці осередки, їх буде $ m = 6 $:

Тоді ймовірність дорівнює: $ P = 6/36 = 1/6 $.

Приклад 4. Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що твір числа очок ділиться на 3.

Складаємо таблицю творів очок, що випали на першій і другій кістки. Відразу виділяємо в ній ті числа, які кратні 3:

Залишається тільки записати, що загальна кількість випадків $ n = 36 $ (див. Попередній приклад, міркування такі ж), а число сприятливих результатів (число зафарбованих клітинок в таблиці вище) $ m = 20 $. Тоді ймовірність події буде рівною $ P = 20/36 = 5/9 $.

Як видно, і цей тип завдань при належній підготовці (розібрати ще пару трійку завдань) вирішується швидко і просто. Зробимо для різноманітності ще одну задачу з іншою таблицею (всі таблиці можна буде скачати внизу сторінки).

Приклад 5. гральні кістки кидають двічі. Знайти ймовірність того, що різниця числа очок на першій і другій кістки буде від 2 до 5.

Запишемо таблицю різниць очок, виділимо в ній осередки, в яких значення різниці буде між 2 і 5:

Отже, що загальне число рівно можливих елементарних фіналів $ n = 36 $, а число сприятливих результатів (число зафарбованих клітинок в таблиці вище) $ m = 10 $. Тоді ймовірність події буде рівною $ P = 10/36 = 5/18 $.

Отже, в разі, коли мова йде про киданні 2 кісток і простому подію, потрібно побудувати таблицю, виділити в ній потрібні комірки і поділити їх число на 36, це і буде ймовірністю. Крім завдань на суму, твір і різниця числа очок, також зустрічаються завдання на модуль різниці, найменше та найбільше випало число очок (відповідні таблиці ви знайдете в файлі Excel ).

Інші завдання про кістки і кубики

Звичайно, розібраними вище двома класами завдань про кидання костей справа не обмежується (просто це найбільш часто зустрічаються в задачниках і методички), існують і інші. Для різноманітності і розуміння зразкового способу вирішення розберемо ще три типових прикладу: на кидання 3 гральних кісток, на умовну ймовірність і на формулу Бернуллі.

Приклад 6. Кидають 3 гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випало 15 очок.

У випадку з 3 гральними кістками таблиці складають вже рідше, так як їх потрібно буде аж 6 штук (а не одна, як вище), обходяться простим перебором потрібних комбінацій.

Знайдемо загальна кількість випадків експерименту. Результати можна представляти як впорядковані трійки чисел виду $ (x, y, z) $, де $ x $ - скільки очок випало на першій кістки (від 1 до 6), $ y $ - скільки очок випало на другий кістки (від 1 до 6), $ z $ - скільки очок випало на третій кістки (від 1 до 6). Очевидно, що за все таких трійок чисел буде $ n = 6 \ cdot 6 \ cdot 6 = 216 $.

Тепер підберемо такі результати, які дають в сумі 15 очок.

Отримали $ m = 3 + 6 + 1 = 10 $ результатів. Шукана ймовірність $ P = 10/216 = 0.046 $.

Приклад 7. Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на першій кістки випало не більше 4 очок, за умови, що сума очок парна.

Найбільш простий спосіб вирішення цього завдання - знову скористатися таблицею (все буде наочно), як і раніше. Виписуємо таблицю сум очок і виділяємо тільки осередки з парними значеннями:

Отримуємо, що згідно з умовою експерименту, всього їсти не 36, а $ n = 18 $ результатів (коли сума очок парна).

Тепер з цих ячееек виберемо тільки ті, які відповідають події "на першій кістки випало не більше 4 очок" - тобто фактично осередки в перших 4 рядках таблиці (виділені помаранчевим), їх буде $ m = 12 $.

Шукана ймовірність $ P = 12/18 = 2 / 3. $

Цю ж задачу можна вирішити по-іншому, використовуючи формулу умовної ймовірності . Введемо події:
А = Сума числа очок парна
В = На першій кістки випало не більше 4 очок
АВ = Сума числа очок парна і на першій кістки випало не більше 4 очок
Тоді формула для шуканої ймовірності має вигляд: $$ P (B | A) = \ frac {P (AB)} {P (A)}. $$ Знаходимо ймовірності. Загальна кількість випадків $ n = 36 $, для події А число сприятливих результатів (див. Таблиці вище) $ m (A) = 18 $, а для події АВ - $ m (AB) = 12 $. Отримуємо: $$ P (A) = \ frac {m (A)} {n} = \ frac {18} {36} = \ frac {1} {2}; \ Quad P (AB) = \ frac {m (AB)} {n} = \ frac {12} {36} = \ frac {1} {3}; \\ P (B | A) = \ frac {P (AB)} {P (A)} = \ frac {1/3} {1/2} = \ frac {2} {3}. $$ Відповіді збіглися.

Приклад 8. Гральний кубик кинуто 4 рази. Знайти ймовірність того, що парне число очок випаде рівно 3 рази.

У разі, коли гральний кубик кидається кілька разів, а мова в подію йде не про суму, творі і т.п. інтегральних характеристиках, а лише про кількість випадінь певного типу, можна для обчислення ймовірності використовувати формулу Бернуллі .

Отже, маємо $ n = 4 $ незалежних випробування (кидки кубика), ймовірність випадання парного числа очок в одному випробуванні (при одному кидку кубика) дорівнює $ p = 3/6 = 1/2 = 0.5 $ (див. Вище завдання для однієї гральної кістки ).

Тоді за формулою Бернуллі $ P = P_n (k) = C_n ^ k \ cdot p ^ k \ cdot (1-p) ^ {nk} $, підставляючи $ k = 3 $, знайдемо ймовірність того, що парне число очок з'явиться 3 рази: $$ P_4 (3) = C_4 ^ 3 \ cdot \ left (1/2 \ right) ^ 3 \ cdot \ left (1-1 / 2 \ right) ^ 1 = 4 \ cdot \ left (1/2 \ right) ^ 4 = 1/4 = 0,25. $$

Наведемо ще приклад, можна вирішити аналогічним чином.

Приклад 9. гральні кістки кидають 8 разів. Знайти ймовірність того, що шістка з'явиться хоча б один раз.

Підставляємо в формулу Бернуллі наступні значення: $ n = 8 $ (число кидків), $ p = 1/6 $ (ймовірність появи 6 при одному кидку), $ k \ ge 1 $ (хоча б один раз з'явиться шістка). Перш ніж обчислювати цю ймовірність, нагадаю, що практично всі завдання з формулюванням "хоча б один ..." зручно вирішувати, переходячи до протилежного події "жодного ...". У нашому прикладі спочатку варто знайти ймовірність події "Шестірка чи не з'явиться жодного разу", тобто $ k = 0 $: $$ P_8 (0) = C_8 ^ 0 \ cdot \ left (1/6 \ right) ^ 0 \ cdot \ left (1-1 / 6 \ right) ^ 8 = \ left (5/6 \ right) ^ 8. $$ Тоді шукана ймовірність буде дорівнює $$ P_8 (k \ ge 1) = 1-P_8 (0) = 1 \ left (5/6 \ right) ^ 8 = 0.767. $$

Корисні посилання

Для наочного і зручного розрахунку ймовірностей в разі кидання двох гральних кісток я зробила
Файл з таблицями для розрахунку ймовірності .

У ньому наведено таблиці суми, твори, різниці, мінімуму, максимуму, модуля різниці числа очок.

Вводячи число сприятливих результатів в спеціальне відділення ви отримаєте розраховану ймовірність (в звичайних і десяткових дробах). Файл відкривається програмою Excel.

Ще по теорії ймовірностей:

У розв'язнику ви знайдете більше 400 завдань про киданні гральних кісток і кубиків з повними рішеннями (вводите частина тексту для пошуку свого завдання):